תוֹכֶן

• צעדים
• טיפים
• אזהרות

לפני שהמחשבון הגיע, התלמידים והמורים היו צריכים לחשב שורשים מרובעים ביד. כמה שיטות התפתחו כדי להתמודד טוב יותר עם התהליך המפחיד הזה, חלקן מביאות קירובים ואחרות ערך מדויק יותר. כדי ללמוד כיצד לחשב שורש מרובע ביד באמצעות פעולות פשוטות, קרא את שלב 1 להתחיל.

צעדים

שיטה 1 מתוך 2: שימוש בפקטוריזציה ראשונית

1. 

   חלק את המספר לפי גורמים מרובעים מושלמים. שיטה זו משתמשת בגורמי המספר כדי לחשב שורש ריבועי (בהתאם לערך, זו עשויה להיות תשובה מדויקת או מוערכת). אתה גורמים של מספר הם כל קבוצה של אחרים שמתרבים כדי להשיג אותה. אתה יכול לומר, למשל, מהם הגורמים ולמה. לעומת זאת, ריבועים מושלמים הם מספרים שלמים הנובעים מכפל בין מספרים שלמים אחרים. ערכים, ולדוגמא, הם ריבועים מושלמים מכיוון שניתן לייצג אותם, בהתאמה. הגורמים המרובעים המושלמים, כפי שאתה יכול לדמיין, הם גם ריבועים מושלמים. כדי להתחיל למצוא את השורש הריבועי באמצעות פקטוריזציה ראשונית, צמצם את הערכים לגורמי הריבוע המושלמים שלך.
   • בדוגמה אחת, יהיה עליכם לחשב את שורש הריבוע של היד. כדי להתחיל, פשוט חלק את הערך לגורמים המרובעים המושלמים שלך. מכיוון שהוא מכפיל של, עדיין ידוע שהוא ניתן לחלוקה באמצעות - ריבוע מושלם. חלוקה נפשית מהירה תגרום לכם לראות שהיא מתאימה לזמנים במספר, שבמקרה הוא גם ריבוע מושלם. לכן, הגורמים המרובעים המושלמים של יהיה ומדוע.
   • השלב הראשון של התרגיל ייכתב כ:

2. 

   
   
   חשב את השורשים הריבועיים של גורמי הריבוע המושלמים. המאפיין של מוצר השורש הריבועי קובע כי לכל ערכים ונתונים. מסיבה זו ניתן כעת לחלץ את השורשים הריבועיים של הגורמים ולהכפיל אותם על מנת להגיע לתשובה.
   • בדוגמה המדוברת, השורשים הריבועיים של וחולצו כדלקמן:

3. 

   
   
   צמצם את הערך המתקבל למונחים הפשוטים ביותר שלו, אם לא ניתן לפקח עליו בצורה מושלמת. בפועל, סביר להניח שהמספרים לא יהיו מושלמים ומדויקים עם גורמים שהם גם ריבועים מושלמים (כמו). במקרים כאלה, יתכן שלא ניתן יהיה לקבל תשובה שלמה מדויקת. במקום זאת, על ידי קביעת הגורמים העשויים להיות ריבועים מושלמים, תוכלו לחשב את התשובה על בסיס שורש ריבועי קטן יותר, פשוט יותר וקל יותר לעבודה. פשוט צמצמו את המספר לשילוב הגורמים שהם ריבועים מושלמים עם אחרים שאינם. לאחר מכן, פשוט את התוצאה.
   • נניח שהשורש הריבועי של משמש כדוגמה. מספר זה אינו תוצר של שני ריבועים מושלמים, ולכן לא ניתן להגיע לערך שלם כמו במקרה הקודם. עם זאת, זהו המוצר שבין ריבוע מושלם למספר אחר - ה. נתונים אלה ישמשו לקידום החיפוש אחר התשובה במילים הפשוטות ביותר, כדלקמן:

4. 

   
   
   במידת הצורך, ערוך הערכות. כאשר השורש הריבועי במונחים הפשוטים ביותר שלו, פשוט יותר לאמוד תגובה מספרית על ידי קביעת ערך שורשי הריבוע הנותרים ומכפלת הערכים המתאימים. אחת הדרכים להנחות את עצמך באומדנים אלה היא למצוא את הריבועים המושלמים ליד המספר בשורש הריבועי. תדע שהמקומות העשרוניים של המספר הזה יהיו בין שני הערכים הללו, ולכן יהיה קל יותר לקבוע מה קיים ביניהם.
   • אם נחזור לדוגמא ולהיות e, אתה יכול לראות שהוא בין e - וכנראה קרוב יותר למספר הגדול יותר. כשאתה מעריך תמצא את זה. פשוט בדקו את הפעולה בעזרת מחשבון ותבחינו שהתקרבתם מאוד לתשובה האמיתית ().
     • זה עובד גם במספרים גדולים יותר. אפשר, למשל, להעריך שהוא בין לבין (כנראה קרוב יותר למספר הגדול יותר). אם e הוא בין שני הערכים, סביר להניח שגם השורש הריבועי שלו הוא בין ו-. אם ניקח בחשבון שזה צעד קטן משם, אתה יכול לציין בביטחון שהשורש הריבועי שלך הוא בקרוב מתחת לערך. כאשר מבצעים את החישוב במחשבון מגיעים לתוצאה - ההנחה הייתה נכונה.

5. 

   ראשית, צמצם את המספר שלך מינימום מרובה נפוצים. אין צורך למצוא גורמים שהם ריבועים מושלמים אם אתה מסוגל לקבוע את הגורמים הראשוניים של מספר (כלומר, שהם גם מספרים ראשוניים). כתוב את הערך המדובר על סמך מינימום הכפולות המשותף. לאחר מכן, חפש זוגות מספרים ראשוניים התואמים זה לזה. כשאתה מוצא שתי אפשרויות העומדות בדרישות אלה, הוצא אותן מהשורש והריבוע א מהם בחוץ.
   • כדוגמה, נסה למצוא את השורש הריבועי בשיטה זו. ידוע כי וכך. מכיוון שכך, ניתן לכתוב את שורש הריבוע במונחים של גורמיו :. פשוט קח את שני הנוכחים בתוך השורש והניח אחד מהם מבחוץ כדי להגיע לתנאים הפשוטים ביותר:. מכאן קל להעריך.
   • כדוגמה אחרונה, נסה לחשב את השורש הריבועי של:
     • 
       כאן יש כמה ערכים בתוך השורש הריבועי - מכיוון שהוא מספר ראשוני, פשוט קח אחד מהזוגות והציב את אחת היחידות מבחוץ.
     • כתוצאה מכך, השורש הריבועי במונחים הפשוטים ביותר שלו יהיה או. מכאן תוכל לאמוד את הערכים של ואם תרצה בכך.

שיטה 2 מתוך 2: חישוב שורשים מרובעים באופן ידני

1. 

   ראשית, הפרד את הרווחים מהמספר בזוגות. בשיטה זו נעשה שימוש בתהליך הדומה לחלוקה הארוכה לצורך חישוב השורש הריבועי מְדוּיָק, בית אחד בכל פעם. אמנם לא קריטי, אך יתכן שתגלה כי התהליך קל יותר כאשר הוא מאורגן חזותית והמספר מחולק לחלקים. הדבר הראשון שצריך לעשות הוא לצייר קו אנכי המפריד בין אזור העבודה לשני אזורים, ואז ליצור קו אופקי קטן יותר לצד ימין למעלה על מנת שיהיה קטע קטן בחלקו העליון וגדול בתחתיתו. כעת, הפרד בין הרווחים למספר בזוגות החל מפסיק: בעקבות הכלל הזה, למשל, הופך להיות. כתוב את הערך בחלק העליון של החלל השמאלי.
   • בדוגמה אחת, נסה לחשב את השורש הריבועי של. צרו שתי שורות לחלוקה של אזור העבודה כמו במקרה הקודם וכתבו בחלק העליון של החלל השמאלי, ואל דאגה אם יש רק מספר אחד בצד שמאל במקום זוג. עליך לכתוב את התשובה () באזור הימני העליון.

2. 

   גלה מהו המספר השלם הגדול ביותר שהריבוע שלו קטן או שווה למספר (או זוג המספרים) בצד שמאל. התחל עם החלק השמאלי ביותר של המספר שלך, בין אם זה זוג או ערך בודד. קבעו מהו הריבוע המושלם הגדול ביותר שקטן או שווה למספר זה וקחו את השורש הריבועי שלו: ערך זה מיוצג על ידי. רשמו אותו במרחב הימני העליון וכתבו את הריבוע שלכם ברבע הימני התחתון.
   • בדוגמה, החלק השמאלי ביותר הוא המספר. כידוע, ניתן לקבוע כי מכיוון שמדובר בערך המספר השלם הגדול ביותר שהריבוע קטן או שווה לו. כתוב ברבע העליון - זה יהיה הריבוע הראשון של התוצאה. ואז כתוב (ריבוע של) ברבע הימני התחתון - ערך זה יהיה חשוב לשלב הבא.

3. 

   להחסיר מספר הזוג המחושב החדש משמאל. כמו בחלוקה הארוכה, השלב הבא הוא להפחית את הריבוע שנמצא מהחלק שנחקר זה עתה. כתוב ערך זה תחת החלק הראשון ובצע את החיסור המתאים, וכתוב את התשובה למטה.
   • בדוגמה, אחד ימוקם מתחת לזה על מנת לבצע את החיסור. התשובה כאן תהיה שווה ל-.

4. 

   לרדת לזוג הבא. הזז את החלק הבא של מספר המחקר למטה וצד הערך המופחת שמצאת זה עתה. ואז הכפל את הערך בפינה השמאלית העליונה ב- וכתוב את התשובה ברבע הימני התחתון. עכשיו פשוט להפריד מקום לבעיית הכפל בשלב הבא :.
   • בדוגמה, הצמד הבא הזמין הוא. רק תסתכל על זה ליד הרבע השמאלי התחתון. ואז הכפל את הערך ב וקבל אותו, כך. כתוב בפינה הימנית התחתונה, ואחריו.

5. 

   מלא את החסר ברבע הנכון. לכל אחד מהם יהיה אותו מספר שלם. עליו להיות הגדול ביותר המאפשר לתוצאת הכפל בימין להיות פחות או שווה למספר הקיים כיום בצד שמאל.
   • בדוגמה, מילוי החסר עם התוצאה :. זהו ערך גדול מ-. בדרך זו, זה גדול מדי, אבל זה כנראה יעשה. כתוב בריקות והמשך:. אושר שהוא עונה על הצורך כי, ואז כתוב את המספר ברבע הימנית העליונה.זהו הריבוע השני בשורש הריבועי של.

6. 

   מחסרים את הערך המחושב מהמספר שנמצא משמאל. המשך לחסר באותו סגנון כמו החלוקה הארוכה. קח את התוצאה של בעיית הכפל ברבע הימני והחסר אותה מהערך שנמצא עכשיו בצד שמאל, והניח את התשובה שלך ממש למטה.
   • בדוגמה, זה יופחת מ, וכתוצאה מכך.

7. 

   חזור על שלב 4. גלול מטה לחלק הבא של המספר ששורש הריבוע שלו מחושב. כשמגיעים לפסיק, כתוב עשרוני בתשובה ברבע הימני העליון. לאחר מכן, הכפל את הערך בפינה השמאלית העליונה על ידי וכתוב את הפעולה בלבן () כמו קודם.
   • בדוגמה, ככל שמגיעים לפסיק עכשיו, כתוב אותו מיד אחרי התשובה הנוכחית בפינה השמאלית העליונה. ואז עברו מטה הזוג הבא () ברבע השמאלי. על ידי הכפלת הערך בפינה השמאלית העליונה (), תקבל - כתוב ברבע הימני התחתון.

8. 

   חזור על שלבים 5 ו -6. מצא את הערך העשרוני הגדול ביותר שמסוגל למלא את החסר בצד ימין שמניב תוצאה קטנה או שווה למספר שנמצא בצד שמאל. ואז פשוט לעבור לבעיה.
   • בדוגמה ,, שהוא פחות או שווה למספר משמאל (). בהתבונן בכך, שהוא גבוה מדי, אתה מגיע למסקנה שזו התשובה שאתה מחפש. כתוב אותו כמקום העשרוני הבא ברבע הימני העליון וחסר את התוצאה של הכפלת המספר בצד שמאל :.

9. 

   המשך לחשב את המקומות העשרוניים. שחרר זוג אפסים שמאלה וחזור על שלבים 4, 5 ו 6. לדיוק רב עוד יותר, המשך לחזור על התהליך עד שתמצא בתשובתך את המאה, האלף וכן הלאה. פשוט המשך במחזור זה עד שתגיע לתוצאה במקום העשרוני הרצוי.

הבנת התהליך

1. 

   הגדר את המספר ששורשו הריבועי יחושב כשטח הריבוע. מכיוון שלשטח זה יש נוסחה, בה הוא מייצג את אורכו של אחד הצדדים שלו, כאשר מנסים למצוא את השורש הריבועי של ערכו אתה מנסה לחשב את אורך הריבוע המדובר.

2. 

   ציין את המשתנים לכל מקום עשרוני בתשובתך. הגדר את המשתנה להיות המקום העשרוני הראשון של (מחושב שורש ריבועי), להיות השני, להיות השלישי וכן הלאה.

3. 

   הקצה משתנים אלפביתיים לכל חלק ממספר ההתחלה. נקשר את המשתנה לצמד המקומות העשרוניים הראשון ב (ערך התחלתי), לצמד המקומות העשרוניים השני וכן הלאה.

4. 

   הבן את הקשר של שיטה זו עם החלוקה הארוכה. דרך זו של חישוב השורש הריבועי היא בעצם בעיית חלוקה ארוכה המחלקת את המספר ההתחלתי לפי השורש הריבועי שלו, מַתָן את השורש הריבועי שלו בתגובה. כמו בבעיות חלוקה ארוכות, בהן העניין מופנה למקום אחר עשרוני בכל פעם, כאן כדאי להתמקד בשתיים בכל פעם (המתאימות למקום העשרוני הבא של שורש הריבוע).

5. 

   מצא את המספר הגדול ביותר שהריבוע שלו קטן או שווה לו. המקום העשרוני הראשון בתשובה מייצג את המספר השלם הגדול ביותר שהריבוע שלו אינו עולה על (כך). בדוגמה, וכן, כך.
   • בדוגמה אחת, אם ברצונך לחלק בשיטת החלוקה הארוכה, הצעד הראשון יהיה דומה: עליך לחפש את הספרה הראשונה () ולמצוא את המספר השלם הגדול ביותר שכאשר מוכפל, יביא למשהו פחות או יותר שווה ל. בעיקרון מדובר במציאת דרך זו. במקרה זה, זה יהיה שווה ל-.

6. 

   דמיין את הריבוע שאת שטחו ברצונך לחשב. התשובה, שהיא שורש הריבוע של מספר ההתחלה, תוצג על ידי, המתאר את אורכו של ריבוע שטח (מספר התחלה). הערכים עבור, ומייצגים את המקומות העשרוניים המצויים. דרך נוספת לשים הגדרה זו היא לקבוע כי במקרה של תשובה עם שתי נקודות עשרוניות, במקרה של תשובה עם שלוש נקודות עשרוניות וכן הלאה.
   • בדוגמה ,. זכרו שהיא מייצגת את התשובה עם ביחידות ובעשרות. אם ניקח וכדוגמא, זה יביא למספר. אם הוא מייצג את שטח הריבוע, הוא מייצג את שטח הריבוע הפנימי הגדול ביותר, מייצג את שטח הריבוע הפנימי הקטן ביותר ומייצג את השטח של כל אחד מהמלבנים הנותרים. בעת ביצוע תהליך ארוך ומסובך זה, עומד לרשותך כל שטח הריבוע, רק הוספת השטחים המחושבים מהריבועים והמלבנים שבפנים.

7. 

   חיסור מ. שחרר זוג () של מקומות עשרוניים. הביטוי מייצג כמעט את כל שטח הריבוע, ממנו הופחתה הריבוע הפנימי הגדול ביותר. את השאר, ניתן, לייצג על ידי זה שמתקבל ב שלב 4 (בדוגמה לעיל). הנה, (שטח של שני המלבנים בתוספת שטח הריבוע הקטן ביותר).

8. 

   חפש, כתוב גם כ. בדוגמה אתה כבר יודע () ו- (), ועכשיו יש צורך לחשב את הערך של. זה כנראה לא יהיה ערך שלם, אז אתה צריך בֶּאֱמֶת לחשב את האפשרות הגדולה ביותר העומדת בתנאי. לבסוף תישאר עם.

9. 

   לפתור את הפעולה. כדי להמשיך, הכפל ב, שנה את מיקום העשרות (שווה ערך להכפלת הערך ב), הכניס אותו למיקום היחידות והכפל את התוצאה ב. במילים אחרות, פשוט בצע את הפעולה. זהה לזה של כתיבה (להיות) ברבע הימני התחתון הנוכחי שלב 4. כבר בפנים שלב 5בתורו, תמצא את הערך המספר השלם הגדול ביותר שיתאים לשטח הריק העונה על התנאי.

10. 

    מחסירים את השטח מהשטח הכולל. כתוצאה מכך התעלם מהשטח עד כה (ואשר ישמש לחישוב הריבועים הבאים בצורה דומה).

11. 

    לחישוב המקום העשרוני הבא, פשוט חזור על התהליך. גלול מטה אל הצמד הבא () של כדי להגיע שמאלה וחפש את הערך הגבוה ביותר העונה על התנאי (שווה ערך לכתיבת ערך כפול עם שני מקומות עשרוניים בליווי. חפש את הערך העשרוני הגבוה ביותר האפשרי בחסר. שמביא תוצאה פחותה או שווה, כמו קודם.

טיפים

• שיטה זו עובדת עם כל בסיס - לא רק בסיס (עשרוני).
• בדוגמה ניתן לשקול "מנוחה":
  
• שיטה חלופית המשתמשת בשברים רציפים הולכת לפי הנוסחה הזו:
  
  בדוגמה אחת, כדי לחשב את השורש הריבועי של, המספר השלם שהריבוע הכי תואם את המספר ההתחלתי הוא, כך, e. כשמזינים את הערכים בנוסחה ומעגלים את האומדן, זה כבר מביא את התוצאה (ערכי מינימום), או בערך (). הקדנציה הבאה תהיה, או בערך (). כל מונח נוסף מוסיף כמעט שלוש נקודות עשרוניות של דיוק ביחס לניסיון הקודם.

אזהרות

• זכור להפריד בין המקומות העשרוניים בזוגות לפסיק. הפרדה בין איך למשל תביא לתוצאות חסרות תועלת.