תוֹכֶן

• צעדים
• טיפים

עבור אלה המתקשים במתמטיקה, ראיית הסמל של שורש מרובע עלולה לגרום לצמרמורות. עם זאת, בעיות הכרוכות במפעיל זה אינן קשות כפי שהן נראות. לפעמים, בעיות שורש מרובעות פשוטות יכולות להיות קלות כמו כפל או חלוקה פשוטים. מצד שני, בעיות מורכבות יותר יכולות להיות יותר עבודה. ובכל זאת, עם הגישה הנכונה, כולם ייראו קלים. התחל לתרגל בעיות שורש מרובעות כעת ולמד מיומנות מתמטיקה חדשה זו קיצוני!

צעדים

חלק 1 מתוך 3: הבינו את מושג השורשים המרובעים והמרובעים

1. 

   לפני הבנת שורשים מרובעים, ראשית הבנה מה הריבוע של מספר. קל להבין זאת. כדי לרבוע מספר, פשוט הכפיל אותו בפני עצמו. לדוגמה, 3 ריבועים זהים ל- 3 × 3 = 9, ו- 9 בריבוע זהה ל- 9 × 9 = 81. הריבועים מסומנים על ידי "2" קטן בצד ימין עליון של המספר שיעלה, כמו זה: 3, 9, 100 וכן הלאה.
   • כדי לתרגל את הרעיון, נסו לרבוע מספר מספרים נוספים. זכרו, ריבוע מספר פשוט מכפיל אותו בפני עצמו. אתה יכול לעשות זאת אפילו עם מספרים שליליים, אך זכור כי במקרה זה התשובה תמיד תהיה חיובית. לדוגמה, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   כדי למצוא את השורש הריבועי, מצא את "ההיפוך" של ההעצמה. סמל השורש (√, המכונה גם "רדיקלי") פירושו בעצם "ההפך" של הסמל. כשאתה רואה רדיקל, שאל את עצמך, "איזה מספר אני יכול להכפיל בפני עצמו כך שהתוצאה היא המספר בתוך הרדיקל?" לדוגמא, כשאתה רואה √ (9), נסה למצוא את המספר, בריבוע, שווה לתשע. במקרה זה התשובה תהיה שְׁלוֹשָׁהכי 3 = 9.
   • דוגמא נוספת: בואו ונמצא את השורש הריבועי של 25 (√ (25)). משמעות הדבר היא שאנחנו צריכים למצוא את המספר, בריבוע, שווה ל 25. מכיוון ש 5 = 5 × 5 = 25, אנו יכולים לומר ש √ (25) = 5.
   • אתה יכול גם לחשוב על פעולה זו כדרך "לבטל" גובה מרובע. לדוגמא, אם עלינו למצוא √ (64), השורש הריבועי של 64, עלינו לחשוב על 64 כ- 8. מכיוון ששורש הריבוע בעצם "מבטל" ריבוע בריבוע, אנו יכולים לומר ש- √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   הבן את ההבדל בין מספרים מרובעים מושלמים למספרים מרובעים לא מושלמים. עד כה התשובות לבעיות השורש המרובע שלנו היו מספרים שלמים. לא תמיד זה יקרה. למעשה, תוצאה של פעולת קרינה עלולה לעיתים לגרום לעשרונים ארוכים ומסובכים. אם שורש המספר הוא מספר שלם, כלומר אם הוא לא שבר או עשרוני, הוא ייקרא מרובע מושלם. כל הדוגמאות המוצגות לעיל (9, 25 ו- 64) הן ריבועים מושלמים מכיוון ששורשיהם הם מספרים שלמים (3, 5 ו 8, בהתאמה).
   • מצד שני, מספרים ששורשיהם אינם שלמים נקראים ריבועים לא מושלמים. בעת חישוב השורש של אחד מהמספרים הללו נקבל תוצאה שבדרך כלל תהיה שבר או עשרוני. לפעמים העשירים המעורבים יכולים להיות די מורכבים, כמו בדוגמה: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   שינן לפחות את 12 הריבועים הראשונים המושלמים. כפי שהראנו, חישוב השורש הריבועי של מספר יכול להיות קל מאוד! לכן חשוב להקדיש זמן לשנן את השורשים המרובעים של תריסר הכיכרות המושלמות הראשונות. הם נוטים להופיע הרבה במבחנים, כך ששינון אותם יכול לחסוך לך זמן רב. 12 הריבועים הראשונים המושלמים הם:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   במידת האפשר, יש לפשט את השורשים על ידי הסרת הריבועים המושלמים. מציאת השורש המרובע של ריבועים לא מושלמים יכולה להיות די קשה, במיוחד אם אין מחשבון זמין (בסעיפים שלהלן, תוכלו ללמוד טריקים לפשט את התהליך). עם זאת, לעיתים ניתן לפשט את המספרים בתוך השורש כדי להקל על החישובים. פשוט חלק את המספר בתוך השורש לגורמים, ואז חשב את שורש הגורמים שהם ריבועים מושלמים וכתוב את התשובה מחוץ לרדיקל. זה קל יותר ממה שזה נראה. ראה להלן כדי להבין טוב יותר!
   • נניח שאתה צריך למצוא את השורש של 900. בתחילה, נראה שמדובר במשימה קשה למדי! הכל הרבה יותר קל אם נחלק את 900 לגורמים. הגורמים למספר "x" הם קבוצת מספרים שאם מכפילים את התוצאה הם "x". לדוגמה, אנו יכולים לקבל 6 על ידי הכפלת 1 × 6 ו- 2 × 3, כך שהגורמים של 6 הם 1, 2, 3 ו- 6.
   • במקום לעבוד עם 900, וזה יכול להיות קצת מוזר, בואו נכתוב את זה כ- 9 × 100. כעת, כאשר 9, שהיא ריבוע מושלם, מופרד מ- 100, נוכל לחשב את שורש הריבוע שלו. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). כלומר √ (900) = 3√(100).
   • אנו עדיין יכולים לפשט פעמיים נוספות, ולחלק 100 לגורמים 25 ו -4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. אז אנחנו יכולים לומר ש √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   השתמש במספרים דמיוניים כדי לחשב את שורש המספרים השליליים. שאלו את עצמכם, איזה מספר כפול בעצמו מביא ל -16? זה לא 4 או -4, מכיוון שהריבוע של שני המספרים האלה הוא 16. האם עלינו לוותר? למעשה, אין דרך לכתוב את השורש הריבועי של -16 או כל מספר שלילי אחר באמצעות מספרים ממשיים בלבד. במקרים כאלה עלינו להשתמש במספרים דמיוניים (בדרך כלל בצורה של אותיות או סמלים) כדי להחליף את השורש הריבועי של מספר שלילי. המשתנה "i", למשל, משמש לציון השורש הריבועי של -1. ככלל, שורש המספר השלילי תמיד יהיה (או לפחות יכלול) מספר דמיוני.
   • זכרו, אף על פי שלא ניתן לייצג מספרים דמיוניים על ידי מספרים אמיתיים, עדיין ניתן להתייחס אליהם ככאלה במובנים מסוימים. לדוגמה, שורש המספר השלילי "-x", אם הוא בריבוע, מביא גם ל- "-x", בדיוק כמו כל שורש אחר. כלומר, i = -1

חלק 2 מתוך 3: שימוש בשיטות ארוכות דמויות חלוקה

1. 

   התייחס לבעיית השורש הריבועי כאילו הייתה חלוקה ארוכה. למרות היותך מעט עמל, אתה יכול למצוא את השורש הריבועי של מספרים מרובעים לא מושלמים מבלי להשתמש במחשבון. השיטה (או האלגוריתם) דומה (אך לא זהה) לזו של החלוקה הארוכה. החלוקה הארוכה היא השיטה המסורתית המשמשת לחישוב חלוקות ביד.
   • התחל במיצוב הראשוני של הבעיה, שיהיה דומה לזה של החלוקה הארוכה. לדוגמא, נניח שאתה צריך למצוא את השורש 6.45 שהוא בהחלט לא ריבוע מושלם. ראשית, אנו כותבים סמל שורש מרובע (√) ואז אנו מכניסים את המספר לתוכו. לאחר מכן, עלינו ליצור קו מהסמל √ עד שהוא מכסה את כל המספר, ולהשאיר אותו בתוך תיבה דומה לזו שבה נמצא המחלק הארוך. ההבדל הוא שכאן התשובה תהיה מעל אותה תיבה, לא מתחת, כמו בחלוקה המסורתית. כשנסיים, יהיה לנו שלט "√" מוארך, המכסה את כל המספר של 6.45.
   • בואו נכתוב מספרים על התיבה הזו, אז השאר מקום.

2. 

   מקבצים את הספרות לזוגות. כדי להתחיל לפתור את הבעיה, קבץ את הספרות של המספר בתוך הגבעול בזוגות, החל מהנקודה העשרונית. אתה יכול לעשות סימונים קטנים (כגון תקופות, סורגים, פסיקים וכו ') בין זוגות כדי להפריד ביניהם.
   • בדוגמה שלנו, עלינו לחלק 6.45 לשלושה זוגות, כך: 6-,45-00. ראו שיש ספרה אחת פחות בצד שמאל, אין שום בעיה עם זה.

3. 

   מצא את המספר הגדול ביותר שהריבוע שלו פחות או שווה לערך של "הקבוצה" הראשונה. התחל עם צמד המספרים הראשון בצד שמאל. בחר את המספר הגדול ביותר שהריבוע שלו פחות או שווה ל"קבוצה ". לדוגמה, אם הקבוצה הייתה בת 37 בחר 6, כי 6 = 36 <37 אך 7 = 49> 37. כתוב את המספר הזה מעל הקבוצה הראשונה. זו הספרה הראשונה של התשובה.
   • בדוגמה שלנו, הקבוצה הראשונה ב 6-, 45-00 היא 6. המספר הראשון הגדול ביותר שהריבוע שלו פחות או שווה ל 6 הוא 2כי 2 = 4. כתוב "2" על 6 שנמצאים בתוך הרדיקל.

4. 

   התבונן בספרה הראשונה של התשובה (המספר שמצאנו זה עתה) והכפיל אותו בשניים. כעת, כתוב את התוצאה מתחת לקבוצה הראשונה ובצע חיסור כדי למצוא את ההבדל. לאחר מכן, גלול מטה לצד מספר המספרים הבא, והוסף אותם להבדל שמצאנו זה עתה. לבסוף, כתוב את הספרה האחרונה כפולת הספרה הראשונה של התשובה בצד שמאל והשאיר רווח לצידה.
   • בדוגמה שלנו, השלב הראשון יהיה למצוא את הכפולה של 2 שהיא הספרה הראשונה של התשובה. 2 × 2 = 4. ואז עלינו לחסר 4 מ- 6 ("הקבוצה" הראשונה שלנו), ולקבל 2 כתשובה. כעת עלינו לרדת לקבוצה הבאה (45) כדי להשיג 245. לבסוף, אנו כותבים שוב 4 בצד שמאל, ומשאירים מקום ריק ריק בצד ימין, ככה: 4_.

5. 

   מלא את החסר. כעת עלינו להציב ספרה במקום החלל הריק לצד המספר שאנחנו כותבים בצד שמאל. בחר את הספרה שכאשר מכפילה את המספר בצד שמאל עם החלל הריק שהוחלף על ידי עצמה, יש ערך מקסימלי, אך פחות מהמספר בצד ימין. זה אולי נראה קצת מסובך, אז בוא נראה כמה דוגמאות להבין. אם המספר שירד, כלומר זה בצד ימין, הוא 1700 והמספר מימין הוא 40_, היינו ממלאים את הריק עם המספר 4, מכיוון 404 × 4 = 1616 <1700 ו- 405 × 5 = 2025 המספר שנמצא בשלב זה יהיה הספרה השנייה של התשובה, כך שתוכל להוסיף אותו מעל לסמל הגבעול.
   • בדוגמה שלנו, עלינו למצוא את המספר למילוי החלל הריק ב- 4_ × _ שהופך את התשובה לגדולה ככל האפשר, אך פחות או שווה ל- 245. במקרה שלנו, התשובה היא 5כי 45 × 5 = 225 ו- 46 × 6 = 276.

6. 

   המשך להשתמש במספרים שממלאים את החסר כדי לחבר את התשובה. המשך בשיטת חלוקה ארוכה זו שהשתנה עד שתתחיל לקבל אפסים על ידי חיסור המספר היורד מהרדיקל או עד שתגיע לרמת הדיוק הרצויה. בסיום המספרים המשמשים למילוי החסר בכל שלב (וכמובן המספר הראשון בו אנו משתמשים) ירכיבו את ספרות התשובה.
   • אם נמשיך את הדוגמא שלנו, היינו מחסירים את 225 מ- 245 כדי לקבל 20. ואז, היינו יורדים בצמד הספרות 00 כדי לקבל 2000. על ידי הכפלת המספרים שמעל הרדיקל, יש לנו 25 × 2 = 50. על ידי הגדרת מספר הריק ל 50_ × _ = / <2,000, אנו מקבלים 3. בשלב זה יש לנו "253" לגבי הרדיקלי. חוזר על התהליך שוב, נקבל 9 בתור הספרה הבאה.

7. 

   מקם את הפסיק במיקום הנכון בתשובה. לסיום התשובה, אנו עדיין צריכים לשים את הנקודה העשרונית במקום הנכון. החלק הזה קל: פשוט הכניסו את הפסיק לתשובה באותה המיקום כמו הפסיק במספר שבתוך הרדיקל. לדוגמה, אם המספר בתוך הרדיקל הוא 49.8, פשוט הכניסו את הפסיק לתשובה במקום התואם לזה שמתחת, כלומר בין שני המספרים שמעל 9 ל -8.
   • בדוגמה שלנו, המספר בתוך הרדיקל הוא 6.45. כדי לקבל את התשובה, פשוט מקם את הפסיק בין המספרים שהם מעל 6 ו -4, שבמקרה זה הם 2 ו -5, בהתאמה, כדי לקבל את התשובה: 2,539.

חלק 3 מתוך 3: אומדן מהיר של ריבועים לא מושלמים

1. 

   מצא את התשובה באמצעות הערכה. ברגע שאתה יודע את השורש של כמה ריבועים מושלמים, למצוא את שורש הריבועים הלא מושלמים יהיה הרבה יותר קל. בשלב קודם אנו ממליצים לשנן לפחות את שתים עשרה הכיכרות המושלמות הראשונות ואת שורשיהם. החדשות הטובות הן שאנחנו יכולים להשתמש באומדן כדי לקבל קירוב לשורש של ריבוע לא מושלם שנמצא בין שני ריבועים מושלמים שאנחנו מכירים. לשם כך עלינו למצוא את הכיכר הראשונה המושלמת הגדולה יותר מהמספר הרצוי והאחרון הקטן יותר, כך שהמספר המדובר הוא בין השניים. לאחר מכן, עלינו לנסות ולגלות לאילו משני המשבצות המושלמות הללו שורש המספר הרצוי קרוב ביותר.
   • לדוגמה, נניח שאנחנו צריכים למצוא את השורש הריבועי של 40. מכיוון שאנו משננים את הכיכרות המושלמות שלנו, אנו יכולים לומר ש -40 הוא בין 6 ל 7, כלומר בין 36 ל 49. מכיוון ש40 גדול מ 6, השורש המרובע שלך יהיה כמו כן, מכיוון שהוא פחות מ -7, השורש שלו יהיה פחות מ- 7. 40 הוא קצת יותר קרוב ל -36 מ -49, כך שהתשובה שלנו כנראה תהיה קרובה יותר ל -6. בשלבים הבאים , נשפר את הדיוק של ההערכה שלנו.

2. 

   הגדל את הדיוק למקום עשרוני אחד. לאחר שמצאת את שני המשבצות המושלמות ברציפות שיוצרות טווח שמכיל את המספר שלך, נסה להגדיל את הדיוק של האומדן לנקודה שלדעתך מספקת. ככל שמבצעים יותר ניסיונות לשיפור האומדן, כך גדל הדיוק. כדי להתחיל, העריך את הערך של המקום העשרוני הראשון. הערכה זו אינה חייבת להיות נכונה, אך שימוש בהיגיון לבחירת ערך העשוי להיות הקרוב ביותר לתשובה יאפשר את התהליך.
   • בדוגמה שלנו, הערכה מקובלת לשורש הריבועי של 40 יכולה להיות 6,4, מכיוון שאנחנו כבר יודעים שהתשובה כנראה קרוב יותר ל -6 מאשר ל -7.

3. 

   הכפל את האומדן בפני עצמו. אלא אם כן יש לך מזל גדול, התוצאה לא תהיה המספר ההתחלתי (40, בדוגמה שלנו). יהיה עליך להתאים את האומדן כדי להתקרב לתשובה הנכונה.אם התוצאה היא מעל למספר ההתחלתי (כלומר מעל 40), נסה הערכה נמוכה יותר. כמו כן, אם התוצאה מתחת למספר הרצוי, הגדל את האומדן.
   • הכפל 6.4 בפני עצמו כדי לקבל 6.4 × 6.4 = 40,96, שהוא מעט גבוה מהמספר ההתחלתי שלנו.
   • כעת, מכיוון שההערכה שלנו הייתה ממש מעל לערך הנכון, אז בואו נקטין אותה בעשירית כדי לקבל 6.3 × 6.3 = 39,69. כעת התוצאה הייתה מעט פחות מהמספר המקורי שלנו. המשמעות היא שהשורש של 40 הוא מספר כלשהו בין 6.3 ל 6.4. יתר על כן, מכיוון ש- 39.69 קרוב יותר ל- 40 מ- 40.96, אנו יודעים שהשורש יהיה קרוב יותר ל- 6.3, ולא 6.4.

4. 

   המשך לשפר את האומדן במידת הצורך. בשלב זה, אם אתה מרוצה מהתשובה, השתמש באחת מהקירובים הראשונים כאומדן. עם זאת, אם אתה זקוק לתשובה מדויקת יותר, נסה להעריך את ה- מקום עשרוני שני, בחירת ערך בין השניים הקודמים (כלומר בין 6.3 ל 6.4). בעזרת שיטה זו אנו יכולים להעריך שלושה מקומות עשרוניים, ארבעה, חמישה וכן הלאה, תלוי רק בדיוק הנדרש לתשובה.
   • בדוגמה שלנו, אנו יכולים לבחור 6.33 כדי לבצע הערכה לשני מקומות עשרוניים. הכפל את 6.33 בפני עצמו כדי להשיג 6.33 × 6.33 = 40.0689. מכיוון שתוצאה זו הייתה מעט מעל המספר ההתחלתי שלנו, אנו יכולים לבחור בערך מעט נמוך יותר, כמו 6.32. במקרה זה 6.32 × 6.32 = 39.9424, תוצאה מעט מתחת למספר ההתחלתי. לכן אנו יכולים להסיק כי השורש המדויק של 40 הוא בין 6.32 ל 6.33. במידת הצורך, נוכל להמשיך בשיטה זו כדי להשיג קירובים מדויקים יותר ויותר לשורש המספר הרצוי.

טיפים

• אם אתה זקוק לתיקון מהיר, השתמש במחשבון. רוב המחשבים המודרניים יכולים לחשב שורשים מרובעים באופן מיידי. באופן כללי, פשוט הקלידו כל מספר ולחצו על הכפתור עם סמל השורש הריבועי. כדי למצוא את השורש של 841, למשל, לחץ על 8, 4, 1 ואז (√) כדי לקבל את התשובה: 39.