תוֹכֶן

• צעדים
• טיפים

פתרון מערכת משוואות מחייב אותך למצוא את הערך של משתנה אחד או יותר ביותר ממשוואה אחת. אתה יכול לפתור מערכת משוואות על ידי הוספה, חיסור, הכפלת או החלפה. אם ברצונך לדעת כיצד לפתור מערכת משוואות, בצע את השלבים הבאים.

צעדים

שיטה 1 מתוך 4: לפתור באמצעות חיסור

1. 

   כתוב משוואה אחת על גבי זו. פתרון מערכת משוואות על ידי חיסור הוא אידיאלי כאשר אתה רואה שלשני החשבונות יש משתנה עם אותו מקדם ואותו סימן. לדוגמא, אם בשתי המשוואות יש את המשתנה החיובי 2x, תוכלו להשתמש בשיטת החיסור כדי למצוא את הערך של שני המשתנים.
   • כתוב משוואה אחת על גבי זו על ידי יישור המשתנים x ו- y וכל המספרים. כתוב את סימן המינוס מחוץ לכמות מערכת המשוואות השנייה.
   • לדוגמא: אם יש לך שתי משוואות 2x + 4y = 8 ו- 2x + 2y = 2, עליך לכתוב את המשוואה הראשונה מעל השנייה, כאשר סימן המינוס נמצא מחוץ לכמות השנייה, ומראה שתחסיר כל אחד מהמונחים ב משוואה.
     • 2x + 4y = 8.
     • - (2x + 2y = 2).

2. 

   
   
   גרע מונחים דומים. עכשיו כשיישרת את שתי המשוואות, כל שעליך לעשות הוא להפחית מונחים דומים. אתה יכול לעשות מונח זה לפי מונח:
   • 2x - 2x = 0.
   • 4y - 2y = 2y.
   • 8 - 2 = 6.
     • 2x + 4y = 8 - (2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6.

3. 

   פתור את התנאים שנותרו. ברגע שאתה מחסל את אחד המשתנים שמקבל מונח שווה ל- 0 כאשר אתה מפחית את המשתנים עם אותם מקדמים, עליך לפתור עבור המשתנה הנותר משוואה רגילה. אתה יכול להסיר את האפס מהמשוואה, מכיוון שהוא לא ישנה שום דבר בערך.
   • 2y = 6.
   • חלק את 2y ו- 6 ב- 2 כדי למצוא y = 3.

4. 

   
   
   החלף את המונח בחזרה באחת המשוואות כדי למצוא את הערך של המונח הראשון. עכשיו שאתה יודע ש y = 3, עליך להחליף בחזרה לאחת המשוואות המקוריות ולפתור את x. לא משנה איזה בחרת כי התשובה תהיה זהה. אם אחת המשוואות נראית מסובכת יותר מהשנייה, פשוט החליפו אותה בקלה ביותר.
   • החלף את y = 3 במשוואה 2x + 2y = 2 ופתור ל- x.
   • 2x + 2 (3) = 2.
   • 2x + 6 = 2.
   • 2x = -4.
   • x = - 2.
     • פתרת את מערכת המשוואות על ידי חיסור. (X, y) = (-2, 3)

5. 

   
   
   בדוק את תשובתך. כדי לוודא שפתרתם נכון את מערכת המשוואות, תוכלו להחליף את שתי התשובות בשתי המשוואות כדי לוודא שהן פועלות. בדרך זו:
   • תחליף (-2, 3) במקום (x, y) במשוואה 2x + 4y = 8.
     • 2(-2) + 4(3) = 8.
     • -4 + 12 = 8.
     • 8 = 8.
   • תחליף (-2, 3) במקום (x, y) במשוואה 2x + 2y = 2.
     • 2(-2) + 2(3) = 2.
     • -4 + 6 = 2.
     • 2 = 2.

שיטה 2 מתוך 4: פתר באמצעות תוספת

1. 

   כתוב משוואה אחת על גבי זו. פתרון של מערכת משוואות על ידי תוספת הוא אידיאלי כאשר אתה רואה שלשתי המשוואות יש משתנה עם אותו מקדם, אך עם סימנים מנוגדים. לדוגמא, אם למשוואה אחת יש את המשתנה 3x ולשנייה יש את המשתנה -3x, אז שיטת החיבור היא אידיאלית.
   • כתוב משוואה אחת על גבי זו על ידי יישור המשתנים x ו- y וכל המספרים. כתוב את סימן הפלוס מחוץ לכמות במשוואה השנייה.
   • לדוגמא: אם יש לך שתי משוואות 3x + 6y = 8 ו- ex - 6y = 4, עליך לכתוב את המשוואה הראשונה על גבי השנייה, כאשר סימן הפלוס מחוץ לכמות המשוואה השנייה, מראה שתוסיף כל אחת מהן של מונחי המשוואה.
     • 3x + 6y = 8.
     • + (x - 6y = 4).

2. 

   הוסף מונחים דומים. עכשיו כשיישרת את שתי המשוואות, כל שעליך לעשות הוא להוסיף את המונחים הדומים. אתה יכול להוסיף אחד בכל פעם:
   • 3x + x = 4x.
   • 6y + -6y = 0.
   • 8 + 4 = 12.
   • כאשר תשלב את כל התנאים, תמצא את המוצר החדש שלך:
     • 3x + 6y = 8.
     • + (x - 6y = 4).
     • = 4x ​​+ 0 = 12.

3. 

   פתור את התנאים שנותרו. ברגע שאתה מחסל את אחד המשתנים שמקבל מונח שווה ל- 0 כאשר אתה מפחית את המשתנים עם אותם מקדמים, עליך לפתור עבור המשתנה הנותר משוואה רגילה. אתה יכול להסיר את האפס מהמשוואה, מכיוון שהוא לא ישנה שום דבר בערך.
   • 4x + 0 = 12.
   • 4x = 12.
   • חלקו 4x ו- 12 ב- 3 כדי למצוא x = 3.

4. 

   החלף את המונח בחזרה למשוואה כדי למצוא את הערך של המונח הראשון. עכשיו שאתה יודע ש x = 3, אתה פשוט צריך להחליף את זה באחת המשוואות המקוריות כדי לפתור את y. לא משנה איזה בחרת כי התשובה תהיה זהה. אם אחת המשוואות נראית מסובכת יותר מהשנייה, פשוט החליפו אותה בקלה ביותר.
   • החלף x = 3 במשוואה x - 6y = 4 כדי לפתור את y.
   • 3 - 6y = 4.
   • -6y = 1.
   • חלקו -6y ו- 1 ב- -6 כדי למצוא y = -1/6.
     • פתרת את מערכת המשוואות על ידי תוספת. (x, y) = (3, -1/6).

5. 

   בדוק את תשובתך. כדי לוודא שפתרתם נכון את מערכת המשוואות, תוכלו להחליף את שתי התשובות בשתי המשוואות כדי לוודא שהן פועלות. לכן:
   • תחליף (3, -1/6) במקום (x, y) במשוואה 3x + 6y = 8.
     • 3(3) + 6(-1/6) = 8.
     • 9 - 1 = 8.
     • 8 = 8.
   • תחליף (3, -1/6) במקום (x, y) במשוואה x - 6y = 4.
     • 3 - (6 * -1/6) =4.
     • 3 - - 1 = 4.
     • 3 + 1 = 4.
     • 4 = 4.

שיטה 3 מתוך 4: לפתור בכפל

1. 

   כתוב את המשוואות זו על גבי זו. כתוב משוואה אחת על גבי זו על ידי יישור המשתנים x ו- y וכל המספרים. כאשר אתה משתמש בשיטת הכפל, לאף אחד מהמשתנים לא יהיו מקדמים תואמים - לעת עתה.
   • 3x + 2y = 10.
   • 2x - y = 2.

2. 

   הכפל משוואה אחת או שתיהן עד שלאחד המשתנים בשני המונחים יש מקדמים שווים. כעת הכפל משוואה אחת או שתיהן במספר שהופך את אחד המשתנים לאותו מקדם. במקרה זה ניתן להכפיל את המשוואה השנייה ב- 2 כך שהמשתנה -y יהפוך ל- -2y וישווה למקדם הראשון y. כך תעשה זאת:
   • 2 (2x - y = 2).
   • 4x - 2y = 4.

3. 

   הוסף או הפחת את המשוואות. עכשיו פשוט השתמש בשיטת החיבור או החיסור בשתי המשוואות, על סמך השיטה שתבטל את המשתנה עם אותו מקדם. מכיוון שאתה עובד עם 2y ו- -2y, עליך להשתמש בשיטת החיבור מכיוון ש- 2y + -2y שווה ל- 0. אם אתה עובד עם 2y ו- + 2y, היית משתמש בשיטת החיסור. כך ניתן להשתמש בשיטת התוספת לחיסול אחד המשתנים:
   • 3x + 2y = 10.
   • + 4x - 2y = 4.
   • 7x + 0 = 14.
   • 7x = 14.

4. 

   לפתור את הקדנציה שנותרה. פשוט נסה למצוא את ערך המונח שלא מחקת. אם 7x = 14, אז x = 2.

5. 

   החלף את המונח בחזרה במשוואה כדי למצוא את הערך של המונח הראשון. החלף בחזרה לאחת מהמשוואות המקוריות כדי לפתור למונח השני. קח את המשוואה הקלה ביותר לעשות מהר יותר.
   • x = 2 -> 2x - y = 2.
   • 4 - y = 2.
   • -y = -2.
   • y = 2.
   • פתרת את מערכת המשוואות בכפל. (x, y) = (2, 2)

6. 

   בדוק את תשובתך. כדי לאמת את תשובתך, החלף את שני הערכים שמצאת בחזרה במשוואות המקוריות וראה שקיבלת את הערכים הנכונים.
   • תחליף (2, 2) במקום (x, y) במשוואה 3x + 2y = 10.
   • 3(2) + 2(2) = 10.
   • 6 + 4 = 10.
   • 10 = 10.
   • החלף (2, 2) במקום (x, y) במשוואה 2x - y = 2.
   • 2(2) - 2 = 2.
   • 4 - 2 = 2.
   • 2 = 2.

שיטה 4 מתוך 4: פתרון באמצעות החלפה

1. 

   בידוד משתנה. שיטת ההחלפה אידיאלית כאשר אחד המקדמים באחת המשוואות שווה לאחד. לכן, כל שעליך לעשות הוא לבודד את משתנה המקדם הפשוט בצד אחד של המשוואה כדי למצוא את ערכו.
   • אם אתה עובד עם המשוואות 2x + 3y = 9 ו- x + 4y = 2, אתה יכול לבודד את x במשוואה השנייה.
   • x + 4y = 2.
   • x = 2 - 4y.

2. 

   החלף את ערך המשתנה שבידדת בחזרה למשוואה האחרת. קח את הערך שנמצא כאשר בידדת את המשתנה והחלף אותו במקום המשתנה במשוואה שלא תפעל. לא תוכל לפתור דבר אם תחליף את הערך בחזרה במשוואה שעשית מניפולציה. כך תעשה זאת:
   • x = 2 - 4y -> 2x + 3y = 9.
   • 2 (2 - 4y) + 3y = 9.
   • 4 - 8y + 3y = 9.
   • 4 - 5y = 9.
   • -5y = 9 - 4.
   • -5y = 5.
   • -y = 1.
   • y = - 1.

3. 

   לפתור את המשתנים הנותרים. עכשיו שאתה יודע ש y = - 1, פשוט החלף ערך זה במשוואה הפשוטה ביותר כדי למצוא את הערך של x. לכן:
   • y = -1 -> x = 2 - 4y.
   • x = 2 - 4 (-1).
   • x = 2 - -4.
   • x = 2 + 4.
   • x = 6.
   • פתרת את מערכת המשוואות באמצעות החלפה. (x, y) = (6, -1).

4. 

   בדוק את עבודתך. כדי לוודא שפתרת את מערכת המשוואות בצורה נכונה, אתה יכול פשוט להחליף את הערכים שנמצאו בשתי המשוואות כדי לראות אם התוצאה נכונה:
   • תחליף (6, -1) במקום (x, y) במשוואה 2x + 3y = 9.
     • 2(6) + 3(-1) = 9.
     • 12 - 3 = 9.
     • 9 = 9.
   • תחליף (6, -1) במקום (x, y) במשוואה x + 4y = 2.
   • 6 + 4(-1) = 2.
   • 6 - 4 = 2.
   • 2 = 2.

טיפים

• אתה אמור להיות מסוגל לפתור כל מערכת של משוואות ליניאריות בשיטות חיבור, חיסור, כפל או החלפה, אך שיטה אחת בדרך כלל קלה יותר בהתאם למשוואות.